Question

已知椭圆C的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），并且经过点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围。

Answer 1

解：（1）设椭圆C的标准方程为（a>b>0），
由椭圆的定义知：

c=1，b²=a²-c²=3
得a=2，
故C的方程为。
（2）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，
所以
则
从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离
所以直线l与圆O相交，
直线l被圆O所截的弦长为


∵0≤m²≤4，
∴
∴。