题目内容

已知f′（x）是函数f（x）=lnx+ $数学公式$ （x＞0，n∈N^*）的导函数，数列{a_n}满足1，a_n+1= $数学公式$
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n= $数学公式$ ，S_n为数列{b_n}的前n项和，求 $数学公式$ （S_n+b_n）•

解（1）∵f（x）=lnx+ $\text{[math]}$ ，∴f′（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
结合a_n+1= $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（3分）
因此 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）++（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ++ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，即a_n= $\text{[math]}$ ，n∈N^*．（6分）
（2）b_n=（2n-1）•（2- $\text{[math]}$ ）=（2n-1）• $\text{[math]}$ ，
S_n=1×1+3× $\text{[math]}$ +5× $\text{[math]}$ ++（2n-1）• $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ S_n=1× $\text{[math]}$ +3× $\text{[math]}$ ++（2n-3）• $\text{[math]}$ +（2n-1）• $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ S_n=1+2[ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ++ $\text{[math]}$ -（2n-1）• $\text{[math]}$ ，（9分）
S_n=2+4• $\text{[math]}$ -（2n-1） $\text{[math]}$ =6- $\text{[math]}$ -（2n-1）• $\text{[math]}$ =6- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （s_n+b_n）= $\text{[math]}$ （6- $\text{[math]}$ ）=6．（12分）
分析：（1）先求出函数的导数，然后代入a_n+1= $\text{[math]}$ ，整理得到， $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，然后求出 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，即可求出通项公式．
（2）首先求出数列{bn}通项公式，然后表示是出s_n和 $\text{[math]}$ s_n，再做差求得s_n进而求出极限．
点评：本题考查了数列的求和、数列的极限等知识，对于等差数列和等比数列乘积形式的数列，一般采取错位相减的方法，属于中档题．