Question

对于每项均是正整数的数列A:a_1,a₂,…,a_n,定义变换T₁，T₁将数列A变换成数列T₁（A）：n,a₁-1,a₂-1,…,a_n-1.

对于每项均是非负整数的数列B：b₁,b₂, …,b_m,定义变换T₂，T₂将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T₂（B）：又定义

S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b²₁+b²₂+…+b²_m.

设A₀是每项均为正整数的有穷数列，令A_k+1=T₂(T₁(A_k))(k=0,1,2, …)

（Ⅰ）如果数列A₀为5，3，2，写出数列A₁,A₂；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T₁（A））=S（A）；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A₀，存在正整数K，当k≥K时，S(A_k+1)=S(A_k).

Answer 1

（Ⅰ）解：A₀：5,3,2,

                T₁(A₀):3,4,2,1

               A₁=T₂(T₁(A₀)):4,3,2,1;

               T₂(A₁):4,3,2,1,0

               A₂=T₂(T₁(A₁)):4,3,3,1.

（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a₁,a₂, …,a_n，

则为n,a₁-1,a₂-1,…,a_n-1,

从而

                                                

　　　　　　又

所以

＝

                     故

（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a₁,a₂, …，a_n.

当存在，使得a_i≤a_j时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B.则

                     ＝2

当存在1≤m＜n,使得时，若记数列为a₁,a₂, …，a_m为C，则S(C)=S(A).

所以

从而对于任意给定的数列A₀，由A_k+1=T₂(T₁(A_k))(k=0,1,2,…)可知

S(A_k+1)≤S(T₁(A_k)).

又由（Ⅱ）可知S(T₁(A_k))=S(A_k)，所以.

即对于N,要么有S(A_k+1)=S(A_k)，要么有-1.

因为S(A_k)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有

即存在正整数K，当k≥K时，