题目内容
对于每项均是正整数的数列A:a1,a2,…,an,定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1A．：n,a1-1,a2-1,…,an-1.
对于每项均是非负整数的数列B：b1,b2, …,bm,定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2（B）：又定义
S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m.
设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)
（Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1,A2；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1A．）=SA．；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(Ak).
（Ⅰ）解：A0：5,3,2, T1(A0):3,4,2,1
A1=T2(T1(A0)):4,3,2,1; T2(A1):4,3,2,1,0
A2=T2(T1(A1)):4,3,3,1.
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1,a2, …,an，
则
为n,a1-1,a2-1,…,an-1,
从而
又
所以
＝
故
（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1,a2, …，an.
当存在
，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B.则
＝2
当存在1≤m＜n,使得
时，
若记数列
为C，则
.
所以
从而对于任意给定的数列A0，由
可知
又由（Ⅱ）可知
，所以
.
即对于
N,要么有S(Ak+1)=S(Ak)，要么有-1.
因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有
即存在正整数K，当k≥K时，
，定义变换
，
变换成数列
．
，定义变换
，
各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列
；
．
是每项均为正整数的有穷数列，令
．
；
；
，当
时，
．