Question

已知圆，直线
（1）求证：直线恒过定点
（2）判断直线被圆截得的弦长何时最短？并求截得的弦长最短时的值及最短长度。

Answer 1

（1）见解析（2）当直线垂直于时被截得弦长最短，此时，最短弦长为

试题分析：（1）证明：直线的方程，
经整理得，                                           ……1分
由的任意性，                                                  ……3分
 恒过定点.                                                   ……5分
（2）解：因为直线恒经过圆内一点，当直线垂直于时被截得弦长最短.      ……7分
由、，直线斜率，
又直线与直线垂直， 直线的斜率为2，
于是，,                                                    ……9分
最短弦长为,                                                      ……11分
综上所述，当直线垂直于时被截得弦长最短，
此时，最短弦长为.                                                   ……12分
点评：当直线与圆相交时，圆心到直线的距离、半弦长和半径组成一个直角三角形，这个直角三角形在解题时经常用到.