Question

17.如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.

(Ⅰ)求证：平面VAB⊥平面VCD；

(Ⅱ)试确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为.

Answer 1

本小题主要考查线面关系，直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能本，以及应用向量知识解决数学问题的能力.

解法1：(Ⅰ)∵AC=BC=a,∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，

∴CD⊥AB，又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB，于是AB⊥平面VCD，

又AB平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD.

(Ⅱ)过C点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由(Ⅰ)知CH⊥平面VAB.

连接BH，于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.

依题意∠CBH=，所以

在Rt△CHD中，CH=；

在Rt△BHC中，CH=asin,

∴sinθ=∵0＜θ＜∴

故当时，直线BC与平面VAB所成的角为

解法2：(Ⅰ)以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直坐标系，则C(0，0，0)，A(a,0,0),B(0,a,0),D

于是，

从而⊥CD.

同理AB⊥VD.

又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD，

又AB平面VAB，

∴平面VAB⊥平面VCD.

(Ⅱ)设平面VAB的一个法向量为n=(x,y,z),

则由

得

可取n=(1,1,),又

于是sin

即sin=∵0＜θ＜∴.

故当θ=时，直线BC与平面VAB所成的角为

解法3：(Ⅰ)以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别在x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，-)，B(0， )，C(-，0)，

V(-，)，于是

从而

即AB⊥DC.

同理

即AB⊥DV.

又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD.

又AB平面VAB.

∴平面VAB⊥平面VCD.

(Ⅱ)设平面VAB的一个法向量为n=(x·y·z)，

则由

取n=(tanθ,0,1),又

于是sin

即sinθ=

∵0＜θ＜∴

故当时，直线BC与平面VAB所成的角为