Question

已知函数f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂（x-k）有实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，看是否关于原点对称，再计算f（-x），利用

1+x

1-x

=(

1-x

1+x

)-1可得f（-x）=-f（x，从而得到函数为奇函数；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，也就是方程

1-x

1+x

=x-k即k=x-

1-x

1+x

在（-1，1）内有解，从而得出实数k属于函数y=x-

1-x

1+x

=x+1-

2

1+x

在（-1，1）内的值域．利用换元法求出其值域即可得到实数k的取值范围；

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）；              
又f（-x）+f（x）=log2

1+x

1-x

+log₂

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

•

1-x

1+x

)=log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．                                       
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有实根，也就是方程

1-x

1+x

=x-k即k=x-

1-x

1+x

在（-1，1）内有解，
∴实数k属于函数y=x-

1-x

1+x

=x+1-

2

1+x

在（-1，1）内的值域．                  
令x+1=t，则t∈（0，2），因为y=t-

2

t

在（0，2）内单调递增，所以t-

2

t

∈（-∞，1）．
故实数k的取值范围是（-∞，1）．

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，考查换元法以及对数的运算性质，突出考查运算求解能力与化归、转化思想．属于中档题．