Question

12、f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，总有f（x+2）=-f（x）成立，则f（19）=（　　）

A、0

B、1

C、18

D、19

Answer 1

分析：本题是是函数的性质---偶函数与周期性以及恒等关系灵活运用题，首先对f（x+2）=-f（x）进行变形，得到f（x+4）=-f（x+2）=f（x），证出周期为4，得出f（19）=f（-1），再由函数是偶函数及恒等式f（x+2）=-f（x）分别得出f（-1）=f（1）与f（1）=-f（-1），由两者联立得到f（-1）=-f（-1），算出f（-1）=0，即f（19）=0

解答：解：f（x+2）=-f（x）?f（x+4）=-f（x+2）=f（x）?周期T=4?f（19）=f（-1），
又f（x）是定义在R上的偶函数，得f（-1）=f（1）    ①，
且当x=-1时，f（-1+2）=-f（-1），即f（1）=-f（-1）     ②，
由①②联立得f（-1）=0
所以f（19）=f（-1）=0
故选A．

点评：本题是函数性质的综合运用题，技巧性较高，属于知识灵活运用题，本题有一个易忽视的地方，那就是f（x+2）=-f（x）的理解与运用，除了可用之得到周期为4外，还应由它得出一个具体的等式f（1）=-f（-1），这也是解本题的一个难点．