Question

【题目】已知函数，的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数．

（1）求的解析式；

（2）求的对称轴及单调增区间；

（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）对称轴为，单调增区间为；（3）

【解析】

（1）由已知可得到周期，进一步得到，，由为奇函数所以，结合即可得到；

（2）令可得对称轴方程，由可得单调增区间；

（3）易得，令，，问题可转化为在上恒成立，只需求出即可.

（1）由已知，周期，所以，，

因为为奇函数，所以，即，又，

所以，所以.

（2）由（1）令，得，

所以的对称轴为；

由，得，

所以的单调增区间为；

（3）当时，，所以，

令，则原问题可转化为在上恒成立，

令，

当时，在上单调递增，所以，

解得或，所以；

当时，在上单调递减，上单调递增，所以

，此时无解；

当时，在上单调递减，所以，

解得或，所以.

综上，实数的取值范围为.