Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=

n

n-1

a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^?）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

3n-1

an

 （n∈N^?），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S₂与n的大小；
（3）令c_n=

an+1

n+1

 （n∈N^*），数列{

2cn

(cn-1)2

}的前n项和为T_n．求证：对任意n∈N^*，都有 T_n＜2．

Answer 1

（1）由题an=

n

n-1

an-1+2n×3n-2知，

an

n

=

an-1

n-1

+2×3n-2，
由累加法，当n≥2时，

an

n

-

a1

1

=2+2×3+2×32++2×3n-2
代入a₁=1，得n≥2时，

an

n

=1+

2(1-3n-1)

1-3

=3n-1
又a₁=1，故a_n=n•3^n-1（n∈N^*）．
（2）n∈N^*时，bn=

3n-1

an

=

1

n

．
方法1：当n=1时，S21=1+

1

2

＞1；当n=2时，S22=1+

1

2

+

1

3

+

1

4

＞2；
当n=3时，S23=1+

1

2

+

1

3

+

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

＜3．
猜想当n≥3时，S2n＜n．
下面用数学归纳法证明：
①当n=3时，由上可知S23 ＜3成立；
②假设：n=k（k≥3）时，上式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

＜k．
当n=k+1时，左边=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＜k+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＜k+

2k

2k+1

＜k+1，
所以当n=k+1时成立．
由①②可知当n≥3，n∈N^*时，S2n＜n．
综上所述：当n=1时，S21＞1；当n=2时，S22＞2；
当n≥3（n∈N^*）时，S2n＜n．
方法2：S2n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

记函数f(n)=S2n-n=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

)-n
所以f(n+1)=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1

)-(n+1)
则f(n+1)-f(n)=(

1

2n+1

+

1

2n+2

+…+

1

2n+1

)-1＜

2n

2n+1

-1＜0
所以f（n+1）＜f（n）．
由于f(1)=S21-1=(1+

1

2

)-1＞0，此时S21＞1；
f(2)=S22-2=(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

)-2＞0，此时S22＞2；
f(3)=S23-3=(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

+

1

8

)-3＜0，此时S23＜3；
由于，f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时S2n＜n．
综上所述：当n=1，2时，S2n＞n；当n≥3（n∈N^*）时，S2n＜n．
（3）cn=

an+1

n+1

=3n
当n≥2时，

2×3n

(3n-1)2

≤

2×3n

(3n-1)(3n-3)

=

2×3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

3n-1-1

-

1

3n-1

所以当n≥2时，Tn=

3

2

+

2×32

(32-1)2

+…+

2×3n

(3n-1)2

≤

3

2

+(

1

2

-

1

32-1

)+(

1

32-1

-

1

33-1

)+…+(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)=2-

1

3n-1

＜2．
且T1=

3

2

＜2故对n∈N^*，T_n＜2得证．