Question

【题目】已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示,AB丄BC，AB//CD，且AB=2CD。将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB丄平面BEC。

(1)求证:平面ABE丄平面ADE；

(2)若AB=BC,求二面角A-DE-B的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点的中点，连接，可证得四边形为平行四边形，可得．由条件可得到平面，从而平面，于是可得所证结论成立．（2）建立空间直角坐标系，再求出两个平面的法向量，根据两法向量的夹角可求出二面角的平面角的余弦值．

（1）证明：取的中点的中点，连接，

则且．

∵且，

∴且，

∴四边形为平行四边形，

∴．

∵平面，

∴．

∵img src="https://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/07/10/08/7c111f09/SYS201907100800588825886904_DA/SYS201907100800588825886904_DA.020.png" width="163" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />，

∴平面．

∵，

∴平面,

∵平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）过作于.

∵平面，

∴．

又，

∴平面．

以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴，过且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则

∴.

设平面的法向量为，

则有，即，

取得，则．

设平面的法向量为，

则有，即，

取，得，则．

∴，

又由图可知二面角的平面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．