题目内容

已知函数f（x）=ax²-4x+2（a＞0）满足：对于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立．
（1）若a=3，求m的最大值
（2）若函数y=f（x）在区间[0，m]上的最小值是-3，求a的值
（3）对于给定的正数a，当a为何值时，m最大？并求出这个最大的m．

解：（1）当a=3时， $\text{[math]}$ …（2分）
因为函数f（x）对于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立
所以m的最大值是方程3x²-4x+2=4的较大根，故 $\text{[math]}$ …（4分）
（2）因为-3∈[-4，4]，所以f（x）=ax²-4x+2区间[0，m]上的最小值是在对称轴处取得，…（7分）
所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ …（8分）
（3）因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．…（9分）
①若 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，m是方程ax²-4x+2=-4的较小根…（11分）
解之得： $\text{[math]}$ ．…（12分）
②若 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，所以m是方程ax²-4x+2=-4的较大根，即 $\text{[math]}$ …（14分）
并且 $\text{[math]}$ 越小，m越大，
故当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，m可以取到最大为3
又因为 $\text{[math]}$ ．
所以，当且仅当 $\text{[math]}$ 时，m取得最大值3…（16分）
分析：（1）先配方，利用对于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立，可知m的最大值是方程3x²-4x+2=4的较大根；
（2）根据函数f（x）对于任意的x∈[0，m]，不等式|f（x）|≤4成立，函数y=f（x）在区间[0，m]上的最小值-3∈[-4，4]，所以f（x）=ax²-4x+2区间[0，m]上的最小值是在对称轴处取得；
（3））因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，与-4比较，进行分类讨论，我们就可以求出这个最大的m．
点评：本题考查二次函数的性质，考查配方法解决函数最值问题，问题（3）分类讨论是关键．