题目内容
直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC=BC=AA′，∠ACB=90°，D、E分别为AB、BB′的中点．（1）求证：CE⊥A′D；
（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
【答案】分析：（1）先
=a，
=b，
=c建立一个基底，再用基底表示
，
，然后计算其数量积，可得答案；
（2）由（1）表示
，
=|
|，再用向量的夹角求解．
解答：解：（1）证明：设
=a，
=b，
=c，
根据题意，|a|=|b|=|c|且a•b=b•c=c•a=0，
∴
=b+
c，
=-c+
b-
a．
∴
•
=-
c2+
b2=0．
∴
⊥
，即CE⊥A′D．
（2）
=-a+c，∴|
|=
|a|，|
|=
|a|．
•
=（-a+c）•（b+
c）=
c2=
|a|2，
∴cos＜
，
＞=
=
．
即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为
．
点评：本题主要考查向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角．
=a，
=b，
=c建立一个基底，再用基底表示
，
，然后计算其数量积，可得答案；（2）由（1）表示
，
=|
|，再用向量的夹角求解．解答：解：（1）证明：设
=a，
=b，
=c，根据题意，|a|=|b|=|c|且a•b=b•c=c•a=0，
∴
=b+
c，
=-c+
b-
a．∴
•
=-
c2+
b2=0．∴
⊥
，即CE⊥A′D．（2）
=-a+c，∴|
|=
|a|，|
|=
|a|．
•
=（-a+c）•（b+
c）=
c2=
|a|2，∴cos＜
，
＞=
=
．即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为
．点评：本题主要考查向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角．
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