题目内容
17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\sqrt{3}m}\\{y=-\sqrt{3}t-2m}\end{array}\right.$（t为参数），若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相切，求直线l与坐标轴围成的三角形的面积．
分析 （1）利用公式与$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
（2）由直线l的参数方程消去参数化为：y=$-\sqrt{3}x$+m，代入抛物线方程可得：3x2-$（2\sqrt{3}m+4）$x+m2=0，由于直线l与曲线C相切，可得△=0，解出m即可得出．
解答 解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ（1-cos2θ）=8cosθ，化为ρ2•2sin2θ=8ρcosθ，∴y2=4x．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\sqrt{3}m}\\{y=-\sqrt{3}t-2m}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为：y=$-\sqrt{3}x$+m，
代入抛物线方程可得：3x2-$（2\sqrt{3}m+4）$x+m2=0，
∵直线l与曲线C相切，
∴△=$（2\sqrt{3}m+4）^{2}$-12m2=0，
化为$m=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线l的方程为：$y=-\sqrt{3}x$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得与坐标轴的交点$（0，-\frac{\sqrt{3}}{3}）$或$（-\frac{1}{3}，0）$．
∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{18}$．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相切问题转化为一元二次的判别式满足的条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
新思维假期作业寒假吉林大学出版社系列答案
相关题目
4．设t是函数f（x）=ex+lnx的零点，若x0＞t，则f（x0）的值满足（ ）
| A． | f（x0）=0 | B． | f（x0）＞0 | C． | f（x0）＜0 | D． | f（x0）的符号不确定 |
5．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC=4，则此棱锥的体积为（ ）
| A． | $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$ | B． | $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}$ | D． | $4\sqrt{2}$ |
如图，平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FD}$，求证：EF∥β．
9．若$\sqrt{\frac{1+sinα}{1-sinα}}$-$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$=2tanα恒成立，则角α可能在的象限是（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第四象限 | C． | 第一、四象限 | D． | 第二、三象限 |
6．当0＜k＜1时，函数f（x）=|1-x2|-（kx-k）零点个数是（ ）
| A． | 4 | B． | 3 | C． | 2 | D． | 1 |