Question

设g(x)=px-

p

x

-2f(x)，其中f（x）=lnx．
（Ⅰ）若g（x）在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；
（Ⅱ）证明：f（x）≤x-1；
（Ⅲ）证明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

(n∈N*，n≥2)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使g（x）在（0，+∞）为增函数，它的导数大于0即可，即 p≥

2x

x2+1

在(0，+∞)上恒成立，利用
基本不等式求出

2x

x2+1

的最大值，p应大于或等于此最大值．
（Ⅱ）只要证明k（x）=lnx-x+1≤0即可，利用它的导数求出函数k（x）的最大值为0，可以得出结论．
（Ⅲ）因为 lnx≤x-1，又x＞0，换元可得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

，即

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)，利用此不等式
化简要证的不等式的左边，再用放缩法可证它小于不等式的右边．

解答：解：（Ⅰ）∵g(x)=px-

p

x

-2lnx（x＞0），
∴g′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．（1分）
令h（x）=px²-2x+p，要使g（x）在（0，+∞）为增函数，
只需h（x）在（0，+∞）上满足：h（x）≥0恒成立，
即px²-2x+p≥0．即 p≥

2x

x2+1

在(0，+∞)上恒成立．
又∵0＜

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤

2

2 x• 1 x

=1(x＞0)，（4分）
∴p≥1．（5分）

（Ⅱ）证明：要证lnx≤x-1，
即证lnx-x+1≤0（x＞0），
设k（x）=lnx-x+1，则k′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．（6分）
当x∈（0，1]时，k'（x）＞0，∴k（x）为单调递增函数；
当x∈（1，+∞）时，k'（x）＜0，∴k（x）为单调递减函数；
∴k（x）_max=k（1）=0．（9分）
即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知lnx≤x-1，又x＞0，
∴

lnx

x

≤

x-1

x

=1-

1

x

．
∵n∈N^*，n≥2，可令x=n²，得

lnn2

n2

≤1-

1

n2

．（12分）
∴

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

n2

)．
∴

ln2

22

+

ln3

32

++

lnn

n2

≤

1

2

(1-

1

22

+1-

1

32

++1-

1

n2

)=

1

2

[(n-1)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)]＜

1

2

[(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

)]
=

1

2

[(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

2

[n-1-(

1

2

-

1

n+1

)]=

2n2-n-1

4(n+1)

．（14分）

点评：本题考查利用函数的导数判断函数的单调性、求函数的最值，以及利用放缩法证明不等式．