Question

【题目】已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若存在两个不同的零点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）增区间为，，减区间为 （2）见解析 （3）证明见解析

【解析】

（1）先求出的定义域,求得导函数,令可解得或,分类讨论判断或,进而解得单调区间；

（2）整理函数为,则令,当时,,则分别讨论和两种情况,利用零点存在性定理判断零点个数；

（3）由（2）可知,构造函数,利用导数可得在单调递增,则,整理即可得证

解：（1）函数的定义域为,

令,得或,

因为,当或时,,单调递增；

当时,,单调递减,

所以的增区间为,；减区间为

（2）取,则当时,,,

所以；

又因为,由（1）可知在上单调递增,因此,当,恒成立,即在上无零点.；

下面讨论的情况：

①当时,因为在单调递减,单调递增,且,,,

根据零点存在定理,有两个不同的零点；

②当时,由在单调递减,单调递增,且，

此时有唯一零点；

③若,由在单调递减,单调递增,,

此时无零点；

综上,若,有两个不同的零点；若,有唯一零点；若,无零点

（3）证明：由（2）知,,且,

构造函数,,

则,

令,,

因为当时,,,

所以

又,所以恒成立,即在单调递增,

于是当时,,即 ,

因为,所,

又,所以,

因为,,且在单调递增,

所以由,可得,即