Question

【题目】已知圆的圆心在直线上，且圆经过曲线与轴的交点.

(1)求圆的方程；

(2)已知过坐标原点的直线与圆交两点，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或.

【解析】试题分析：

（1）先求出曲线与轴的交点为，再根据圆心在直线，由待定系数法可求得圆的方程为．（2）由题意设直线的方程为，代入圆方程消去整理得，设，由根与系数的关系可得．又由，得，消去后可解得或，从而可得到直线方程．

试题解析：

（1)在中，

令，得，

解得或，

所以曲线与轴的交点坐标为．

设圆的方程为，

依题意得，

解得，

所以圆的方程为．

(2)解法一：

由题意知直线的斜率显然存在，故设直线的斜率为，则直线的方程为．

由消去整理得

，

因为直线与圆交两点，

所以．

设，

则

因为，

所以，

所以

解得或，

经检验得或满足，

所以直线的方程为或.

解法二：

如图取的中点，连接，

则

设

由，得

由

所以

解得

所以圆心到直线的距离等于2，

设直线的方程为，即

所以，

解得或，

所以直线的方程为或.

解法三：

设直线的倾斜角为,则直线的参数方程为 (为参数)．

把代入并整理得：

设对应的参数分别为，

则

因为，

所以，，

所以

所以，

所以

所以，

所以或

所以直线的方程为或.