Question

如图，、、…、（）是曲线： （）上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．

（Ⅰ）写出、、；

（Ⅱ）求出点（）的横坐标关于的表达式；

（Ⅲ）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ），，；

（Ⅱ）依题意，得，，由此及得

              ，

       即．

       由（Ⅰ）可猜想：（）．

       下面用数学归纳法予以证明：

       （1）当时，命题显然成立；

       （2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及

             

       得，即

              ，

       解之得（不合题意，舍去），

       即当时，命题成立．

       由（1）、（2）知：命题成立．

   （Ⅲ）

                                                              

．

令（），则，

所以在上是增函数，

故当时，取得最小值，即当时，．

              （，）

       ，即（）

       ．

       解之得，实数的取值范围为．