题目内容

若存在实数x使 $数学公式$ 成立，求常数a的取值范围．

解：由题意，由柯西不等式得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ≤（3+1）（x+2+14-x）=64
所以 $\text{[math]}$ 8，当且仅当x=10时取“=”，
∵存在实数x使 $\text{[math]}$ 成立
∴a＜8
∴常数a的取值范围是（-∞，8）．
分析：利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．
点评：本题主要考查运用柯西不等式求最值，解题的关键是变形，利用柯西不等式解题．