题目内容

若存在实数x使
3x+6
+
14-x
＞a成立，求常数a的取值范围．
分析：利用柯西不等式，求出左边对应函数的最大值，即可确定常数a的取值范围．
解答：解：由题意，由柯西不等式得(
3x+6
+
14-x
)2=(
3
×
x+2
+1×
14-x
)2≤（3+1）（x+2+14-x）=64
所以
3x+6
+
14-x
≤8，当且仅当x=10时取“=”，
∵存在实数x使
3x+6
+
14-x
＞a成立
∴a＜8
∴常数a的取值范围是（-∞，8）．
点评：本题主要考查运用柯西不等式求最值，解题的关键是变形，利用柯西不等式解题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．
（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．
①求t的取值范围；
②若a+c=2b2，求t的值．
（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．
对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x2+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x2+3x-1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；
（3）试利用“基函数f（x）=log4（4+1）、g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．
定义F（x，y）=（1+x）y，x、y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求曲线f(x)=F[1，log2(x3-3x)]与直线4x+15y-3=0垂直的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数b使曲线g(x)=F[1，log2(x3+ax2+bx+1)]在（m，n）点处的切线斜率为-8，且m∈[2，4]，求实数a的取值范围．
（2012•泉州模拟）选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤0的解集D；
（Ⅱ）若存在实数x∈D使
3x
+
2-x
＞a成立，求实数a的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网