Question

把地球看作半径为R的球，设A、B两地纬度相同，都是α度，它们的经度相差β度（0＜β≤180°），求A、B两地之间的球面距离．

Answer 1

分析：画出图形，由于A、B两地纬度相同，都是α度，先求纬圆半径，通过经度相差β度，解出AB距离，求出AB的球心角，然后求其球面距离．

解答：解：A、B两地之间的球面距离为过A、B所作之大圆的圆弧AB的长，
设其长为L，且设∠AOB=θ
过A、B作平面O₁AB⊥NS（极轴），
此平面与球面交成圆O₁．
设其半径为r，由已知，∠AO₁B=β．
设C、D分别为赤道平面上与点A、B同经度之两点，
则由已知，∠AOC=∠BOD=α．
在过A、B的大圆上有L=

πRθ

180

由此可知，只需求出θ即可．
在圆O₁中，线段AB=2rsin

β

2

，
又在过A、C的大圆中，因为∠OO₁A=90°，
∠OAO₁=α，所以r=Rcosα
代入上式，可得线段AB=2Rcosαsin

β

2

．
在△AOB中，线段AB=2Rsin

θ

2

，
于是可得2Rsin

θ

2

=2Rcosαsin

β

2

，
所以θ=2arcsin(cosαsin

β

2

)．
由此可得A、B两地之间的球面距离为L=

2πR

180

arcsin(cosαsin

β

2

)．
此处之角度以度为单位．

点评：本题考查球面距离，经度不同纬度相同的一般问题，具体规律性，是中档题，好题．