Question

（2011•朝阳区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)经过点A（2，1），离心率为

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（3，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，设直线AM和直线AN的斜率分别为k_AM和k_AN，求证：k_AM+k_AN为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得

4 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2 c a = 2 2 .

，由此能求出椭圆C的方程中参数a，b的值．
（Ⅱ）由题意可设直线l方程为y=k（x-3），由

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．由此入手能够证明k_AM+k_AN为定值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

4 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2 c a = 2 2 .

（2分）
解得a=

6

，b=

3

．      （4分）
故椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

3

=1．     （5分）
（Ⅱ）由题意可设直线l方程为y=k（x-3），
由

y=k(x-3) x2 6 + y2 3 =1

得（1+2k²）x²-12k²x+18k²-6=0．（7分）
因为直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，
所以△=144k⁴-4（1+2k²）（18k²-6）=24（1-k²）＞0，解得-1＜k＜1．…（8分）
设M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=

12k2

1+2k2

，x1x2=

18k2-6

1+2k2

，（10分）
y₁=k（x₁-3），y₂=k（x₂-3）．
所以k_AM+k_AN=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

（12分）
=

(kx1-3k-1)(x2-2)+(kx2-3k-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

2kx1x2-(5k+1)(x1+x2)+12k+4

x1x2-2(x1+x2)+4

=

2k(18k2-6)-(5k+1)•12k2+(12k+4)(1+2k2)

18k2-6-24k2+4(1+2k2)

=

-4k2+4

2k2-2

=-2．
所以k_AM+k_AN为定值-2．            （14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和证明k_AM+k_AN为定值．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．