题目内容
（2011•朝阳区二模）已知函数f(x)=2sinx•sin(
+x)-2sin2x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(
)=
，x0∈(-
，
)，求cos2x0的值．
| π |
| 2 |
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f(
| x0 |
| 2 |
| ||
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简 f（x）的解析式为
sin(2x+
)，由此求得周期，令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z），求出x的范围，即得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）解法一：由已知得sinx0+cosx0=
，平方可得sin2x0=-
，再根据2x0∈(-
，
)，利用同角三角函数的基本关系求出cos2x0的值．
解法二：由已知得sin(x0+
)=
，根据角x0+
的范围，利用同角三角函数的基本关系求出cos(x0+
)的值，由cos2x0=sin(2x0+
)=sin[2(x0+
)]，再利用二倍角公式运算求出结果．
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）解法一：由已知得sinx0+cosx0=
| ||
| 3 |
| 7 |
| 9 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
解法二：由已知得sin(x0+
| π |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
解答：解：（Ⅰ） f（x）=2sinx•cosx-2sin2x+1 …（1分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=
sin(2x+
)．…（3分）
故函数f（x）的最小正周期T=
=π．…（5分）
令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z），…（6分）
可得 2kπ-
≤2x≤2kπ+
，
即 kπ-
≤x≤kπ+
，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
， kπ+
]（k∈Z）．…（8分）
（Ⅱ）解法一：由已知得f(
)=sinx0+cosx0=
，…（9分）
两边平方，可得 1+sin2x0=
，
所以，sin2x0=-
． …（11分）
因为x0∈(-
，
)，所以2x0∈(-
，
)，
所以，cos2x0=
=
．…（13分）
解法二：因为x0∈(-
，
)，
所以x0+
∈(0，
)．…（9分）
又因为f(
)=
sin(2•
+
)=
sin(x0+
)=
，
解得 sin(x0+
)=
．…（10分）
所以，cos(x0+
)=
=
．…（11分）
所以，cos2x0=sin(2x0+
)=sin[2(x0+
)]=2sin(x0+
)cos(x0+
)
=2•
•
=
．…（13分）
=sin2x+cos2x …（2分）
=
| 2 |
| π |
| 4 |
故函数f（x）的最小正周期T=
| 2π |
| 2 |
令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
可得 2kπ-
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即 kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
（Ⅱ）解法一：由已知得f(
| x0 |
| 2 |
| ||
| 3 |
两边平方，可得 1+sin2x0=
| 2 |
| 9 |
所以，sin2x0=-
| 7 |
| 9 |
因为x0∈(-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
所以，cos2x0=
1-(-
|
4
| ||
| 9 |
解法二：因为x0∈(-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
所以x0+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
又因为f(
| x0 |
| 2 |
| 2 |
| x0 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| ||
| 3 |
解得 sin(x0+
| π |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
所以，cos(x0+
| π |
| 4 |
1-(
|
2
| ||
| 3 |
所以，cos2x0=sin(2x0+
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=2•
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 9 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．
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