题目内容
如图，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．
分析：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求得
•
=0，
•
=0，即可证得结论；
（2）确定平面PCD、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式可得结论．
| AE |
| BC |
| AE |
| BP |
（2）确定平面PCD、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式可得结论．
解答：
（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，3，0），P（0，0，1），E（
，0，
），
∴
=（
，0，
），
=（0，1，0），
=（-1，0，1）．
∴
•
=0，
•
=0，
所以
⊥
，
⊥
．
所以AE⊥BC，AE⊥BP．
因为BC，BP?平面PBC，且BC∩BP=B，
所以AE⊥平面PBC．
（2）解：设平面PCD的法向量为
=（x，y，z），则
•
=0，
•
=0．
因为
=（-1，2，0），
=（0，3，-1），所以
．
令x=2，则y=1，z=3．
所以
=（2，1，3）是平面PCD的一个法向量． …8分
因为AE⊥平面PBC，所以
平面PBC的法向量．
所以cos＜
，
＞=
=
．
根据图形可知，二面角B-PC-D的余弦值为-
． …10分
（1）证明：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，3，0），P（0，0，1），E（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| AE |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| BC |
| BP |
∴
| AE |
| BC |
| AE |
| BP |
所以
| AE |
| BC |
| AE |
| BP |
所以AE⊥BC，AE⊥BP．
因为BC，BP?平面PBC，且BC∩BP=B，
所以AE⊥平面PBC．
（2）解：设平面PCD的法向量为
| n |
| n |
| CD |
| n |
| PD |
因为
| CD |
| PD |
|
令x=2，则y=1，z=3．
所以
| n |
因为AE⊥平面PBC，所以
| AE |
所以cos＜
| AE |
| n |
| ||||
|
|
5
| ||
| 14 |
根据图形可知，二面角B-PC-D的余弦值为-
5
| ||
| 14 |
点评：本题考查线面垂直，考查面面接哦，考查利用向量知识解决立体几何问题，正确用坐标表示向量是关键．
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