Question

【题目】已知函数，(其中e为自然对数的底数).

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数在上单调递增；（2）.

【解析】

（1）将代入解析式，并求得，令并求得；由的符号可判断的单调性，进而求得，即可由符号判断函数的单调性；

（2）根据不等式及函数的解析式，代入后化简变形，并令，转化为关于的不等式，分离常数后构造函数，求得后，再构造函数，求得；由的符号可判断的单调性，进而可知存在使得，从而判断出的单调性与极值点，结合函数解析式求得，即可由恒成立问题求得的取值范围.

（1）当时，函数，

则，

令，

则，令，解得，

所以当时，，在时单调递减，

当时，，在时单调递增，

即，

所以，

即函数在上单调递增.

（2）当时，不等式恒成立，

代入可得，

因为，化简可得，即，

令，所以

则不等式可化为，

变形可得，

令，

则，

令，则，

令，解得，

当时，，则在内单调递减，

当时，，则在内单调递增，

而，

，，

所以存在使得，

从而当时，则在时单调递增；

当时，，则在时单调递减；

当时，，则在时单调递增；

当时，，则在时单调递减.

则在或处取得最大值，

而，，

因为，即

则，

综上可知，的取值范围为.