Question

关于函数f(x)=sinx(cosx-sinx)+

1

2

，给出下列三个命题：
（1）函数f（x）在区间[

π

2

，

5π

8

]上是减函数；
（2）直线x=

π

8

是函数f（x）的图象的一条对称轴；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=

2

2

sin2x的图象向左平移

π

4

而得到．
其中正确的命题序号是

 

．（将你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

分析：先把函数式利用倍角公式和两角和公式化简整理，进而根据正弦函数的额单调性、对称性和图象平移法则，对三个命题进行验证．

解答：解：f(x)=sinx(cosx-sinx)+

1

2

=sinxcosx-sin²x+

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）
∴函数f（x）的图象可以由函数y=

2

2

sin2x的图象向左平移

π

8

而得到．命题（3）错误．
根据正弦函数的单调性可知当2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

1π

8

≤x≤kπ+

5π

8

时，函数单调减，∴命题（1）正确．
根据正弦函数的对称性可知，2x+

π

4

=kπ+

π

2

，即x=

kπ

2

+

1π

8

是函数的对称轴，∴命题（2）正确．
故答案为（1），（2）

点评：本题主要考查了正弦函数的性质，涉及单调性，对称性和图象的平移，内容多且复杂，故平时应注意多积累．