Question

【题目】已知椭圆：，其左、右焦点分别为，上顶点为，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，.

（1）若直线垂直于轴，求的值；

（2）若，直线的斜率为，则椭圆上是否存在一点，使得关于直线成轴对称？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）设直线:上总存在点满足，当的取值最小时，求直线的倾斜角.

Answer 1

【答案】(1)5；(2)答案见解析；(3).

【解析】试题分析：

（1）由题意可得，则，结合勾股定理可得，，则.

（2）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标分别为，由对称性可求得点坐标为，该点不在椭圆上，则椭圆上不存在满足题意的点.

（3）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标为，设直线的y轴截距式方程，与椭圆方程联立有，由题意可知点是线段的中点，据此计算可得，

当且仅当时取等号.则直线的倾斜角.

试题解析：

（1）因为，则，

即，设椭圆的半焦距为，则，在直角中，，即

解得，，所以.

（2）由，，得，因此椭圆方程为，且，

的坐标分别为，直线的方程为，设点坐标为，

则由已知可得：，解得，而，

即点 不在椭圆上，

所以，椭圆上不存在这样的点，使得关于直线成轴对称.

（3）由，得椭圆方程为，且，的坐标为，所以可设直线的方程为，代入得：，

因为点满足，所以点是线段的中点，

设的坐标为，则 ，

因为直线上总存在点满足，

所以，且，所以，

当且仅当，即时取等号.所以当时，，此时直线的倾斜角.