Question

【题目】如图所示，已知点A（1，0），D（﹣1，0），点B，C在单位圆O上，且∠BOC= ．
（Ⅰ）若点B（ ， ），求cos∠AOC的值；
（Ⅱ）设∠AOB=x（0＜x＜ ），四边形ABCD的周长为y，将y表示成x的函数，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵B（ ， ）， ∴cos∠AOB= ，sin∠AOB= ；
∴cos∠AOC=cos（∠AOB+∠BOC）
=cos∠AOBcos∠BOC﹣sin∠AOBsin∠BOC
= × ﹣ ×
= ；
（Ⅱ）等腰三角形AOB中，求得|AB|=2|OB|sin =2sin ，
等腰三角形COD中，求得
|CD|=2|OC|sin =2sin（ ﹣ ）；
∴y=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|
=3+2sin +2sin（ ﹣ ）
=3+2sin（ + ）；
由0＜x＜ 得，当 + = ，
即x= 时，y取得最大值5
【解析】（Ⅰ）由三角函数的定义，写出cos∠AOB与sin∠AOB的值，再计算cos∠AOC的值；（Ⅱ）根据等腰三角形的知识，求出|AB|、|CD|的值，再写出函数y的解析式，求出y的最大值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角函数的最值的相关知识，掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．