Question

（选做题）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为

x=4cosφ y=2sinφ

，(φ为参数）．
（1）在极坐标系下，曲线C与射线θ=

π

4

和射线θ=-

π

4

分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为

x=6 2 -2t y=t- 2

（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．

Answer 1

分析：（1）先消去参数方程中的参数得普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换将直角坐标方程化成极坐标方程，通过极坐标方程求出三角形的边长后求面积即可．
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t的值，再代入l的参数方程，得曲线C与直线l的交点坐标．

解答：解：（1）曲线C的参数方程为

x=4cosφ y=2sinφ

，(φ为参数）．
消去参数得它的普通方程为：

x2

16

+

y2

4

=1，
将其化成极坐标方程为：

ρ2cos2θ

16

+

ρ2sin2θ

4

=1，
分别代入θ=

π

4

和θ=-

π

4

得|OA|²=|OB|²=

32

5

，
因∠AOB=

π

2

，故△AOB的面积S=

1

2

|OA||OB|=

16

5

．
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得（t-2

2

）²=0，
∴t=2

2

，代入l的参数方程，得x=2

2

，y=

2

，
∴曲线C与直线l的交点坐标为（2

2

，

2

）．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．