Question

已知a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，求证：（

1

a

-1）（

1

b

-1）（

1

c

-1）≥8．

Answer 1

分析：先将待证不等式的左边通分后，再利用1=a+b+c进行代换，最后利用基本不等式进行了放缩即得．

解答：证明：∵a、b、c∈（0，+∞）且a+b+c=1，
∴（

1

a

-1）（

1

b

-1）（

1

c

-1）=

(1-a)(1-b)(1-c)

abc

=

(b+c)(a+c)(a+b)

abc

≥

2 bc •2 ac •2 ab

abc

=8．
当且仅当a=b=c=

1

3

时等号成立．

点评：本题主要考查了不等式的证明、基本不等式的应用，属于基础题．