Question

一个口袋装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸将从中摸两个球（每次摸奖后放回），两个球颜色不同则为中奖．
（I）试用n表示一次摸奖中奖的概率；
（II）若n=5，求三次摸奖的中奖次数ε=1的概率及数学期望；
（III）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为p，当n取多少时，p最大？

Answer 1

分析：（I）记“1次从n+5个球中摸出2个球”为事件A，事件A包含的基本事件总数n=

(n+5)(n+4)

2

，“1次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为事件B，事件B包含的基本事件个数m=5n，由此能求出一次摸奖中奖的概率．
（II）三次放回式抽奖中，“每次从n+5个球中摸出2个球，且2个球异色”为独立重复事件，当n=5时，获奖次数ξ～B（3，

5

9

），三次摸奖的中奖次数ε=1的概率及数学期望．
（III）设ξ～B（n，p），p（ξ+1）=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p，0＜p＜1．令f（p）=3p³-6p²+3p，利用导数性质能求出当n=20时，三次摸奖恰有一次中奖的概率最大．

解答：解：（I）记“1次从n+5个球中摸出2个球”为事件A，
则事件A包含的基本事件总数n=

(n+5)(n+4)

2

，
“1次从n+5个球中摸出2个球且2个球异色”为事件B，
则事件B包含的基本事件个数m=5n，
∵两个球颜色不同则为中奖，
∴一次摸奖中奖的概率p=

5n

(n+5)(n+4) 2

=

10n

(n+5)(n+4)

．
（II）三次放回式抽奖中，“每次从n+5个球中摸出2个球，且2个球异色”为独立重复事件，
当n=5时，获奖次数ξ～B（3，

5

9

），p（ξ=1）=

C

1 3

(

5

9

)(

4

9

)2=

80

243

，
Eξ=np=3×

5

9

=

5

3

．
（III）设ξ～B（n，p），
p（ξ+1）=

C

1 3

p(1-p)2=3p³-6p²+3p，0＜p＜1．
令f（p）=3p³-6p²+3p，则f′（p）=9p²-12p+3，
由f′（p）=0，得p=

1

3

．
∵当0＜p＜

1

3

时，f′（p）＞0；当

1

3

＜p＜1时，f′（p）＜0．
∴当p=

1

3

时，f（p）有最大值，
由p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，解得n=20．
∴当n=20时，三次摸奖恰有一次中奖的概率最大．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望和分布列，考查概率取最大值时的红球的个数．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．