Question

设f（x）=

2ex-1，x＜2 log3(x2-1)，x≥2

，若f（x₁）=f（x₂）=a（x₁≠x₂），则实数a的取值范围是

[1，2e）

．

Answer 1

分析：根据函数的单调性可得当x＜2时，f（x）∈（0，2e ），当x≥2时，f（x）∈[1，+∞）．再由直线y=a和函数f（x）的图象有2个交点，可得实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

2ex-1，x＜2 log3(x2-1)，x≥2

，故函数f（x）在（-∞，2）上是增函数，在[2，+∞）上也是增函数．
由于f（x₁）=f（x₂）=a（x₁≠x₂），故函数f（x）在（-∞，+∞）上不是增函数．
当x＜2时，f（x）∈（0，2e ），当x≥2时，f（x）≥f（2）=1，即f（x）∈[1，+∞）．
由题意可得直线y=a和函数f（x）的图象有2个交点，故有 1≤a＜2e，
故答案为[1，2e）．

点评：本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．