题目内容

已知 $数学公式$ =（1，0）， $数学公式$ =（0，1），求使向量 $数学公式$ +k $数学公式$ 与向量 $数学公式$ +2k $数学公式$ 的夹角为锐角的k的取值范围．

解：∵ $\text{[math]}$ =（1，0）， $\text{[math]}$ =（0，1），
∴ $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ =（1，k）， $\text{[math]}$ +2k $\text{[math]}$ =（2k，1），
∵向量 $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ +2k $\text{[math]}$ 的夹角为锐角
得到（ $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ +2k $\text{[math]}$ ）＞0，且 $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ +2k $\text{[math]}$ 不共线，
即2k+k＞0且2k²≠1
∴k＞0，且k≠ $\text{[math]}$ ．
故k的取值范围是k＞0，且k≠ $\text{[math]}$ ．
分析：根据所给的两个向量的坐标，写出要用的向量 $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ +2k $\text{[math]}$ 的坐标，两个向量的夹角是一个锐角，得到两个向量的数量积大于零，容易出错的是忽略两个向量共线的条件，不把不合题意的去掉．
点评：本题考查两个向量的数量积的应用，考查两个向量的夹角是一个锐角时，应该注意到是要去掉两个向量共线且同向的情况，本题是一个易错题．