Question

如图，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁的中点，AC交BD于点O，求证：A₁O⊥平面MBD.

Answer 1

证明：连结MO.

    ∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，

    ∴DB⊥平面A₁ACC₁.

    又A₁O平面A₁ACC₁，

    ∴A₁O⊥DB.

    在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=,tan∠MOC=,

    ∴∠AA₁O=∠MOC,

    则∠A₁OA+∠MOC=90°.

    ∴A₁O⊥OM.

    ∵OM∩DB=O,

    ∴A₁O⊥平面MBD.