Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x-3，g（x）=ax²-2x-1，其中实数a＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）上均为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，令导函数大于0可求函数的增区间，令导函数小于0可求函数的减区间．
（2）分别求出函数f（x）与g（x）的单调增区间，然后令（a，a+2）为二者单调增区间的子集即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-

1

3

a）（x+a），又a＞0，
∴当x＜-a或x＞

a

3

时，f'（x）＞0；
当-a＜x＜

a

3

时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）内是增函数，在（-a，

a

3

）内是减函数．
（2）当a＞0时，f（x）在（-∞，-a）和（

a

3

，+∞）内是增函数，g（x）在（

1

a

，+∞）内是增函数．
由题意得

a＞0 a≤ 1 3 a≥ 1 a

，解得a≥1，
综上可知，实数a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题考查导数的运算，导数符号与函数单调性之间为的关系，综合考查运用知识分析和解决问题的能力，中等题．