题目内容
已知函数f(x)=x+
，
（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
| 1 |
| x |
（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．
（I）证明：在[1，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2（2分）
f(x1)-f(x2)=x1+
-(x2+
)（1分）
=(x1-x2)•
（1分）
∵x1＜x2∴x1-x2＜0
∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在[1，+∞）上是增函数（2分）
（II）由（I）知：
f（x）在[1，4]上是增函数
∴当x=1时，有最小值2；
当x=4时，有最大值
（2分）
f(x1)-f(x2)=x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=(x1-x2)•
| x1x2-1 |
| x1x2 |
∵x1＜x2∴x1-x2＜0
∵x1∈[1，+∞），x2∈[1，+∞）∴x1x2-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故f（x）在[1，+∞）上是增函数（2分）
（II）由（I）知：
f（x）在[1，4]上是增函数
∴当x=1时，有最小值2；
当x=4时，有最大值
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