Question

（2007•湛江二模）下列四个函数：
①f(x)=

1

x3

；
②f（x）=2^x；
③f(x)=

x2-3(x＞0) 0(x=0) -x2+3 (x＜0)

；
④f(x)=

x3

3

-x．
其中为奇函数的是

①③④（2分）

；在（1，+∞）上单调递增的函数是

②③④．（3分）

（分别填写所有满足条件的函数序号）

Answer 1

分析：利用奇函数和和函数的单调性的定义分别判断即可．

解答：解：①函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，且f(-x)=

1

-x3

=-

1

x3

=-f(x)，所以函数f（x）为奇函数．在（1，+∞）上单调递减．
②函数的定义域为R，函数f（x）=2^x，为非奇非偶函数．此时函数在R上单调递增．
③函数的定义域为R，当x＞0，f（-x）=-x²+3=-（x²-3）=-f（x），
当x＜0时，f（-x）=x²-3=-（-x²+3）=-f（x），综上恒有f（-x）=-f（x），所以函数为奇函数．在（1，+∞）上单调递增．
④函数的定义域为R，f(-x)=

-x3

3

+x=-(

x3

3

-x)=-f(x)，所以函数为奇函数．函数的导数为f'（x）=x²-1，当x＞1时，f'（x）=x²-1＞0，所以函数在（1，+∞）上单调递增．
故答案为：①③④；②③④．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的应用，要求熟练掌握相关的定义．