Question

设函数f(x)=ax³+bx²+cx(a＜b＜c)，其图像在点A(1，f(1))，B(m，f(m))处的切线的斜率分别为0，-a．

(Ⅰ)求证：0≤＜1；

(Ⅱ)若函数f(x)的递增区间为[s，t]，求|s-t|的取值范围；

(Ⅲ)若当x≥k时(k是与a，b，c无关的常数)，恒有f′(x)+a＜0，试求k的最小值．

Answer 1

(Ⅰ)证明：f′(x)= ax²+2bx+c，由题意及导数的几何意义得

f′(1)=a+2b+c=0，(1)

f′(m)=am²+2bm+c=-a，(2)

又a＜b＜c，可得4a＜a+2b+c＜4c，

即4a＜0＜4c，故a＜0，c＞0，

由(1)得c=-a-2b，代入a＜b＜c,再由a＜0，得＜1，(3)

将c=-a-2b代入(2)得am²+2bm-2b=0，

即方程ax²+2bx-2b=0有实根．

故其差别式△=4b²+8ab≥0得

≤-2，或≥0，(4)

由(3)，(4)得0≤＜1;

(Ⅱ)解：由f′(x)= ax²+2bx+c的判别式

△′=4b²-4ac＞0，

知方程f′(x)= ax²+2bx+c=0  (*)有两个不等实根，设为x₁，x₂，

又由f′(1)=a+2b+c=0知，x₁=1为方程(*)的一个实根，则

由根与系数的关系得x₁+x₂=，x₂=-1＜0＜x₁，

当x＜x₂或x＞x₁时，f′(x)＜0，

当x₂＜x＜x₁时，f′(x)＞0，

故函数f(x)的递增区间为[x₂，x₁]，

由题设知[x₂,x₁]=[s,t]，

因此|s-t|=| x₁-x₂|=2+，由(1)知0≤＜1得

|s-t|的取值范围为[2，4)；

(Ⅲ)解：由f′(x)+a＜0，即ax²+2bx+a+c＜0，

即ax²+2bx-2b＜0，

因为a＜0，则x²+2·x-2·＞0，

整理得(2x-2)+x²＞0，

设g()=(2x-2)+x²，可以看作是关于的一次函数，

由题意g()＞0对于0≤＜1恒成立，

故即

得x≤-1或x≥-1，

由题意，[k，+∞)(-∞ , -1]∪[-1，+∞)，

故k≥-1，因此A的最小值为-1．