Question

已知点M（3，1），直线ax-y+4=0及圆（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；
（3）若直线ax-y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）点M（3，1）在圆（x-1）²+（y-2）²=4外，故当x=3时满足与M相切，由此能求出切线方程．
（2）由ax-y+4=0与圆相切知

|a-2+4|

1+a2

=2，由此能求出a．
（3）圆心到直线的距离d=

|a+2|

1+a2

，l=2

3

，r=2，由r²=d²+（

l

2

）²，能求出a．

解答：解：（1）∵点M（3，1）到圆心（1，2）的距离d=

4+1

=

5

＞2=圆半径r，
∴点M在圆（x-1）²+（y-2）²=4外，
∴当x=3时满足与M相切，
当斜率存在时设为y-1=k（x-3），即kx-y-3k+1=0，
由

|k-2+1-3k|

k2+1

=2，∴k=

3

4

．
∴所求的切线方程为x=3或3x-4y-5=0．（5分）
（2）由ax-y+4=0与圆相切，
知

|a-2+4|

1+a2

=2，（7分）
解得a=0或a=

4

3

．（9分）
（3）圆心到直线的距离d=

|a+2|

1+a2

，（10分）
又l=2

3

，r=2，
∴由r²=d²+（

l

2

）²，解得a=-

3

4

．（12分）

点评：本题考查圆的切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意点到直线的距离、两点间距离等知识点的合理运用．