Question

已知点M（3，1），圆（x-1）²+（y-2）²=4．
（1）求过M点的圆的切线方程；
（2）若直线ax-y+4=0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为2

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由圆的方程找出圆心坐标与半径，分两种情况考虑：若切线方程斜率不存在，直线x=3满足题意；若斜率存在，设出切线方程，根据直线与圆相切时圆心到切线的距离d=r，求出k的值，综上即可确定出满足题意的切线方程；
（2）由AB弦长，以及圆的半径，利用点到直线的距离公式，根据垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（1）由圆的方程得到圆心（1，2），半径r=2，
当直线斜率不存在时，方程x=3与圆相切；
当直线斜率存在时，设方程为y-1=k（x-3），即kx-y+1-3k=0，
由题意得：

|k-2+1-3k|

k2+1

=2，
解得：k=

3

4

，
∴方程为y-1=

3

4

（x-3），即3x-4y-5=0，
则过点M的切线方程为x=3或3x-4y-5=0；
（2）∵圆心到直线ax-y+4=0的距离d=

|a+2|

a2+1

，
∴（

|a+2|

a2+1

）²+（

2 3

2

）²=4，
解得：a=-

3

4

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及圆的标准方程，利用了分类讨论的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．