Question

【题目】已知函数．

（1）若在处的切线平行于轴，求的值和的极值；

（2）若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），2，-2；（Ⅱ）

【解析】

试题（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（x）在x=1处的切线平行于x轴，可得f′（1）=0，由此求a的值，把a值代入导函数，求得导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，列表得到单调区间，则f（x）的极值可求；（Ⅱ）设出切点（t，t3+at），求导数，利用直线方程点斜式得到切线方程，代入A的坐标，化为关于t的方程，再利用导数求出关于t的函数的极值，由极大值大于0，且极小值小于0联立不等式组求得a的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）,

∵在处的切线平行于轴, ∴,即．

∴．令,得．

				1
	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴,．

（Ⅱ）设切点为,则切线斜率为,

∴切线方程为, ∵点在切线上,

∴, 即． （*）

于是, 若过点A可作曲线的三条切线, 则方程（*）有三个相异的实根根．

记, 则．

当时,,是增函数,

当时,,是减函数,

当时,,是增函数,

∴．

要使方程（*）有三个相异实根, 则即．