Question

（2013•唐山二模）函数f(x)=2sinπx-

3x-x2

所有零点的和等于（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

Answer 1

分析：依题意，令h（x）=2sinπx，g（x）=

3x-x2

（两函数的交点就是方程的解），逐段分析即可求得零点个数，利用h（x）=2sinπx与g（x）=

3x-x2

都关于x=

3

2

对称即可求得所有零点的和．

解答：解：依题意，0≤x≤3，函数f（x）=2sinπx-

3x-x2

的零点，即方程2sinπx=

3x-x2

的解．
令h（x）=2sinπx，则其周期T=2；
令y=g（x）=

3x-x2

，
则y²+(x-

3

2

)2=

9

4

（y≥0），其轨迹为以（

3

2

，0）为圆心，

3

2

为半径的上半圆；
∵h（x）=2sinπx与g（x）=

3x-x2

都关于x=

3

2

对称，那么只要判断解的个数就可以．

∵h（0）=g（0），两函数都从原点出发（0，0）是一个交点；
又h（

1

2

）=2＞g（

1

2

）=

5

2

，f（

1

2

）=h（

1

2

）-g（

1

2

）＞0；
h（1）=0，g（1）=

2

，f（1）=h（1）-g（1）＜0，
∴h（x）=g（x）区间（0，

1

2

）内有1个交点，在区间（

1

2

，1）内有1个交点；
同理可知，h（x）=g（x）区间（2，2

1

2

）内有1个交点，在区间（2

1

2

，3）内有1个交点，在x=3处有1个交点；
由h（x）=2sinπx与g（x）=

3x-x2

都关于x=

3

2

对称得：6个交点的横坐标相加等于3×（2×

3

2

）=9．
所有零点的和是9．
故选C

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查函数的图象与性质，考查分析与运算能力，属于难题．