Question

如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．

(I)求三棱锥E—PAD的体积；
(II)试问当点E在BC的何处时，有EF//平面PAC；
(1lI)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF．

Answer 1

见解析

试题分析：（Ⅰ）注意到PA平面ABCD，得知的长即为三棱锥的高，而三棱锥的体积等于的体积，计算即得.
（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行．
利用三角形中位线定理，得到，进一步得出∥平面．
（Ⅲ）证明：根据等腰三角形得出，根据平面，平面，
得到 ，又因为 且，?平面，得到平面，又平面，．
再根据，平面，及平面，根据，作出结论.
试题解析：（Ⅰ）由已知PA平面ABCD，所以的长即为三棱锥的高，三棱锥的体积等于的体积
= = ．
（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行．
∵在中，分别为的中点，连结
，又平面，而平面，
∴∥平面．
（Ⅲ）证明：因为，所以等腰三角形中，
∵平面，平面，
∴ 
又因为 且，?平面，
∴平面，又平面，
∴．
又∵，
∴平面．PB，BE?平面PBE，
∵平面，
∴，即无论点E在边的何处，都有．