Question

已知函数f（x）=2aln（1+x）-x（a＞0）．
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）求证：4lge+

lge

2

+

lge

3

+…+

lge

n

＞lge

(1+n)n

nn

(n+1)（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（I）先求函数的定义域，然后求出函数的导函数，再讨论导数的正负，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和
fˊ（x）＜0，即可求出函数的单调区间，从而得出函数的极值；
（II）利用对数的运算性质将欲证不等式进行变形，即证1+

1

2

+

1

3

++

1

n

+3＞ln(n+1)+(1+

1

n

)n
对函数f（x）令a=

1

2

，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减，故f（x）＜f（0）=0，即可得ln（1+x）＜x，最后令x=

1

n

(n∈N*)，取n=1、2、3…、n，将所得的不等式累加即可得出要证的不等式成立．

解答：解：（I）定义域为（-1，+∞）f′(x)=

2a

1+x

-1
令f'（x）＞0?-1＜x＜2a-1，令f'（x）＜0?x＞2a-1
故f（x）的单调递增区间为（-1，2a-1）
f（x）的单调递减区间为（2a-1，+∞）
f（x）的极大值为2aln2a-2a+1
（II）证：要证4lge+

lge

2

+

lge

3

++

lge

n

＞lge

(1+n)n

nn

(n+1)
即证4+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞

lge (1+n)n nn (n+1)

lge

即证4+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞lne

(1+n)n

nn

(n+1)
即证1+

1

2

+

1

3

++

1

n

+3＞ln(n+1)+(1+

1

n

)n
令a=

1

2

，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减
故f（x）＜f（0）=0
即ln（1+x）＜x
令x=

1

n

(n∈N*)
故ln(1+

1

n

)=ln

n+1

n

=ln(n+1)-lnn＜

1

n

累加得，ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

++

1

n

ln(1+

1

n

)＜

1

n

?ln(1+

1

n

)n＜1?(1+

1

n

)n＜e＜3
故1+

1

2

+

1

3

++

1

n

+3＞ln(n+1)+(1+

1

n

)n，得证

点评：本题主要考查了导数与不等式两方面的知识，考查运算求解能力、推理论证能力、化归与转化思想，属于中档题．
（I）考查了利用导数研究函数的极值，以及研究函数单调区间等有关基础知识；
（II）考查了运用不等式的性质进行等价变形，将（I）中的函数结论巧妙运用到不等式当中，从而达到证明的目的．