Question

已知函数f（x）=x³-x，数列{a_n}满足条件：a₁≥1，a_n+1≥f′（a_n+1）。试比较与1的大小，并说明理由。

Answer 1

解：∵f′（x）=x²-1，a_n+1≥f′（a_n+1），
∴a_n+1≥（a_n+1）²-1
∵函数g（x）=（x+1）²-1=x²+2x在区间[1，+∞）上单调递增，
于是由a_n≥1，得a₂≥（a₁+1）²-1≥2²-1，
由此猜想：a_n≥2ⁿ-1
以下用数学归纳法证明这个猜想：
①当n=1时，1=a₁≥2¹-1=1，结论成立；
②假设n=k时结论成立，即a^k≥2^k-1，
则当n=k+1时，由g（x）=（x+1）²-1在区间[1，+∞）上单调递增知，
a_k+1≥（a_k+1）²-1≥2^2k-1≥2^k+1-1，即n=k+1时，结论也成立
由①、②知，对任意n∈N*，都有a_n≥2ⁿ-1
即1+a_n≥2ⁿ，
∴，
∴。