Question

某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．
（1）若a=9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？

Answer 1

分析：（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元．在计划时间内，列出该企业的人均年终奖，令其大于或等于3万元，求出最低年限，判断a=9是否满足题意．
（2）设1≤x₁＜x₂≤10，利用函数的单调性定义，人均年终奖年年有增长，确定a的范围，然后确定该企业每年员工的净增量不能超过的人数．

解答：解：（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元．
则y=

2000+60x

800+ax

(x∈N*，1≤x≤10)；（4分）
由题意，有

2000+60x

800+9x

≥3，
解得，x≥

400

33

＞10．
所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．
（2）设1≤x₁＜x₂≤10，则f（x₂）-f（x₁）=

2000+60x2

800+ax2

-

2000+60x1

800+ax1

=

(60×800-2000a)(x2-x1)

(800+ax2)(800+ax1)

＞0，
所以，60×800-2000a＞0，得a＜24．
所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人．

点评：本题考查其他不等式的解法，函数单调性的判断与证明，根据实际问题选择函数类型，考查逻辑思维能力，分析问题解决问题的能力，是中档题．