Question

如图是一个四面体形状的木块ABCD，用平行于一组对棱AC、BD的平面截此四面体得截面PQMN，解答下列各问题：

（1）四边形PQMN是平行四边形吗？试证明.

（2）若AC=BD，能截得菱形吗？

（3）在什么情况下，可以截得一个矩形？

（4）在什么情况下，可以截得一个正方形？

（5）若AC=BD=a，求证平行四边形PQMN的周长是定值.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵AC∥面PQMN，面PQMN∩面ACD=PQ， 且AC面ACD，∴AC∥PQ. 同理可证AC∥MN，BD∥MQ，BD∥NP，∴PQ∥MN，MQ∥NP. ∴四边形PQMN是平行四边形. （2）若AC=BD，由三角形中位线定理可知，当点P是AD中点时，四边形PQMN是菱形. （3）显然，当AC⊥BD时，四边形PQMN是矩形. （4）由（2）、（3）可知当AC⊥BD且AC=BD时，四边形PQMN是正方形. （5）设MQ=x，PQ=y，AQ∶QD=m∶n. ∵△AMQ∽△ABD，∴MQ∶BD=AQ∶AD=m∶（m+n）， ∴MQ=am∶（m+n），即x=am∶（m+n）. 同理可得y=an∶（m+n）. ∴x+y=a. ∴周长=2（x+y）=2a， 即当AC=BD=a时，平行四边形PQMN的周长是定值2a.