Question

（本小题12分）已知函数．
(1)证明函数的图像关于点对称;
（2）若，求；
（3）在（2）的条件下，若 ，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围．

Answer 1

（1） 证明：见解析；（2） ；（3）   .

(1)证明f(x)关于点 对称，只须证明：设、是函数图像上的两点, 其中且,即证：即可.
(2)利用（1）的结论，采用倒序相加的方法求和即可。
（3）当时，， 当时，， .可求出 
然后再本小题可转化为对一切都成立，即恒成立，又即
恒成立,再构造,研究其最大值即可。
（1） 证明：因为函数的定义域为， 设、是函数图像上的两点, 其中且,
则有 
因此函数图像关于点对称            ……………………………………4分
（2）由（1）知当时，
①     ②
①+②得 ………………………………………………………………8分
（3）当时，
当时，，
当时，…=
∴ （）
又对一切都成立，即恒成立
∴恒成立，又设,所以在上递减,所以在处取得最大值
∴，即
所以的取值范围是                         ………………12分