Question

已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线y²=2px（p＞0）于B、C两点，且|BC|=2．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）写出直线l的方程，和抛物线方程联立后由弦长公式列式求p得值，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）假设存在点D，使得|DB|=|DC|成立，由此得到k_DE=-=-1，由中点坐标公式求出D的坐标，代入抛物线方程中有解，从而得到答案．
解答：解：（1）直线l方程为y=x-2，将其代入y²=2px，并整理，得
x²-2（2+p）x+4=0…①，
∵p＞0，∴△=4（2+p）²-16＞0，
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），∴x₁+x₂=4+2p，x₁•x₂=4，
∵|BC|=2，而|BC|=|x₁-x₂|，
∴2=2，解得p=1，∴抛物线方程y²=2x．
（2）假设在抛物线y²=2x上存在点D（x₃，y₃），使得|DB|=|DC|成立，记线段BC中点为E（x，y），
则|DB|=|DC|?DE⊥BC?k_DE=-=-1，
当p=1时，①式成为x²-6x+4=0，
∴x₀₌=3，y=x-2=1，
∴点D（x₃，y₃）应满足，解得或
∴存在点D（2，2）或（8，-4），使得|DB|=|DC|成立．
点评：本题考查了抛物线方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，训练了弦长公式的用法，是有一定难度题目．