Question

已知函数f（x）=ax²+2ln（2-x）（a∈R），设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆C：x2+y2=

1

4

相切，求a的值．

Answer 1

分析：利用导数的几何意义求出x=1处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程，最后根据圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解之即可．

解答：解：依题意有：f(1)=a，f′(x)=2ax+

2

x-2

(x＜2)，
∴l的方程为2（a-1）x-y+2-a=0，
∵l与圆相切，
∴

|2-a|

4(a-1)2+1

=

1

2

?a=

11

8

，
∴a的值为

11

8

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及圆的切线方程等基础题知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．